Интерполяционный многочлен Лагранжа

Для различных точек $a_0,\dots,a_n$ в поле $F$ и значений $b_0,\dots,b_n \in F$ существует единственный многочлен $f \in F[x]$ степени $\deg f \leq n$ такой, что: $$ f(a_i) = b_i \quad \forall i = 0,\dots,n $$

**Существование** Построим базисные многочлены: $$L_{i}(x) = \prod_{\substack{j=0 \\ j \neq i}}^{n} \dfrac{x - a_{j}}{a_{i} - a_{j}}$$ Ясно, что $\deg L_{i} = n$ и $L_{i}(a_{k}) = \delta_{ik}$ (символ Кронекера) Искомый многочлен: $$ f(x) = \sum_{i=0}^{n} b_i L_i(x) $$ Условие $f(a_k) = b_k$ выполняется для всех $k$ из построения. Степень $\deg f \leq n$, так как $f$ - сумма многочленов $L_{i}$, степень которых равна $n$. **Единственность** Пусть $g(x)$ — другой такой многочлен. Тогда $h(x) = f(x) - g(x)$ имеет $\deg h \leq n$. Но так как он имеет $n+1$ корней $a_0, \dots, a_n$, то $h(x) \equiv 0$ (корней больше, чем степень). А значит ${} f(x) = g(x) {}$ $\square$